Теоретическое решение в виде кривой зависимости степени консолидации $U$ от фактора времени $T_v$ получено для разных видов загружения.

<aside> <img src="/icons/light-bulb_purple.svg" alt="/icons/light-bulb_purple.svg" width="40px" />

Отметим, что и сжимаемость, и проницаемость приняты постоянными.

</aside>

На рис. 1 показаны основные формы эпюр нагрузок и значения фактора времени и степени консолидации. В источнике [Бабков, В. Ф. Основы грунтоведения и механики грунтов / В. Ф. Бабков, А. В. Генбург-Гейбович - М.: Высш. школа, 1964 – 366 с.] $U$ обозначено символом $K_i$.

Рис. 1. Формы эпюры нагрузки и значения кривой $U$–$T_v$ (снизу водоупор, сверху водопроницаемый слой)

Форма эпюры теоретического решения в упрощённом виде позволяет описать основные случаи загружения:

• монотонное: прямоугольная для условий компрессионного сжатия и одномерной задачи консолидации
• возрастающее: треугольная с основанием у водонепроницаемого слоя характерна для уплотнения водонасыщенного грунта под действием собственного веса
• смешанное: трапецеидальная, ****уширяющаяся к низу при наличии нагрузки на слой грунта, уплотняющегося под собственным весом
• убывающее: треугольная с основанием в верхней части у водопроницаемого слоя, схематически осредняющая затухающее по глубине распределение нагрузки от сооружения

Вид кривых в графической форме показан на рис. 2:

Рис. 2. Скорость сжатия водонасыщенного слоя при разных эпюрах распределения давления в грунте

Фактор времени $T_v$ связан с исходными данными в виде коэффициента фильтрации $k_ф$ и сжимаемости грунта $E_{oed}$:

$$ T_v=\frac{C_v⋅t}{H^2}=\frac{k_ф⋅E_{oed}⋅t}{\gamma_w⋅ H^2} $$

Поэтому кривая зависимости $T_v-U$ позволяет на основании исходных данных получить величину степени консолидации $U$, а затем и соответствующую расчётному моменту времени $t$ осадку $S_t$ (здесь $U$ в долях единиц):

$$ S_t=\frac{U⋅S_{кон}}{100} $$

Начальную часть кривой можно описать параболической зависимостью, но остальная часть кривой потребует функции более сложного вида. В литературе можно найти разные варианты функций для этой кривой, полученные различными авторами. Приведём один относительно более простой вариант:

• для $U$ от 0 до 60%:

  $$ T_v=\frac{\pi}{4}\left(\frac{U\%}{100}\right)^2 $$

• для $U$ > 60%:

  $$ T_v=1.781−0.933⋅\log(100−U\%) $$

Более универсальный вариант (Б. Хансен):

$$ U=\sqrt[6]{\frac{T_v^3}{T_v^3+0.5}} $$